Question

(12分)如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数的图象上．   

（1）求m，k的值； 

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，

以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 

试求直线MN的函数表达式．   

Answer

【解析】
（1）由题意可知，．

解，得 m＝3．         ………………………………3分

∴ A（3，4），B（6，2）；

∴ k＝4×3=12．     ……………………………4分

（2）存在两种情况，如图： 

①当M点在x轴的正半轴上， N点在y轴的正半轴

上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）．

∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，

∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，

再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．

由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），

∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）；     

M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）．      

设直线M1N1的函数表达式为，把x＝3，y＝0代入，解得．

∴ 直线M1N1的函数表达式为．

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）． 

∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，

∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．   

∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．     

∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）．   

设直线M2N2的函数表达式为，把x＝-3，y＝0代入，解得，

∴ 直线M2N2的函数表达式为．  

所以，直线MN的函数表达式为或． 

【解析】略