Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥BE于点E．

（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD＝6，AE＝6，求BC的长．

Answer

【解析】
（1）∵DE⊥BE于E，∴BD为△DBE外接圆的直径，设圆心为O，

连结OE，得OE＝OB，

∴∠OBE ＝∠OEB，∵BE平分∠ABC

∴∠CBE ＝∠OBE，∴∠OEB ＝∠CBE，

∴BC∥OE，已知∠C＝90°，∴∠OEC＝90°，

即直线AC是△DBE外接圆的切线．……………5分

（2）设OE＝OD＝x，在直角三角形AEO中，

AO 2 ＝AE 2 ＋EO 2， 即 (6＋ x) 2＝(6) 2＋ x 2，

解得 x＝3，由△ABC～△AOE，得 ＝，即 ＝ ，BC＝4．……………10分

【解析】略