Question

如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．已知，，是的中点，是的中点．

（1）分别写出点、点的坐标；

（2）过点作交轴于点，求点的坐标；

（3）在线段上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）E（8，3），F（4，6）

（2）M（，0）

（3）存在点P（0，3），此时△PEF是等腰三角形

【解析】【解析】
（1）E（8，3），F（4，6） ……………………3分

（2）∵

∴

∵

∴

又∵

∴△AEM∽△BFE ………………5分

∴

即

∴ ……………………7分

∴

∴M（，0） ……………………9分

（3）如图，设P（0，n）过点P作PH⊥AB于点H，

在Rt△中，

在Rt△中，

在Rt△中，

①当时

即＝

解得（不合题意，舍去） ……………………10分

②当时

即＝25

此方程无解 ……………………11分

③当时

即＝25

解得，＝9（不合题意，舍去） ……………………12分

综上，存在点P（0，3），此时△PEF是等腰三角形．……………………13分