Question

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

1.连接GD，求证：△ADG≌△ABE；(2分)

2.连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(3分)

3.如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．(4分)

Answer

1.∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

    ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º

∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD

∴∠BAE＝∠DAG

∴△ BAE≌△DAG

2.∠FCN＝45º         

理由是：作FH⊥MN于H

       ∵∠AEF＝∠ABE＝90º

    ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º

    ∴∠FEH＝∠BAE

    又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º

∴△EFH≌△ABE                  

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH

∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º

3.当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，

理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º

结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

又∵G在射线CD上

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º

   ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE 

      ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，

∴＝＝

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝  

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝

 【解析】略