Question

如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝

(x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p，p－1)(p＞1)作x轴的平

行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于点M、N．

(1)求m的值和直线l的解析式；

(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

(3)是否存在实数p，使得S_△AMN＝4S_△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若

不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。

           设直线l的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得

                      ， ，解之，得

          ∴所求 直线l的解析式为 。

         (2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。

          ∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。

          ∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，

           BP＝ 

          ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。

          ∴△PMB∽△PNA。

      (3)S△AMN＝。下面分情况讨论：

         当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。设直线MP为则有

          解得 

          则直线MP为

          当y＝0时，x＝，即点Q的坐标为（，0）。       

         则，

         由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。

        ‚当p＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。

        ƒ当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。

         此时，S△AMP大于情况‚当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。                                      

        综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。

【解析】略