Question

（11·大连）（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别

为(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P

的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠

部分的面积为S．

（1）点B关于直线x＝t的对称点B′的坐标为________；

（2）求S与t的函数关系式．

Answer

【解析】
（1）（2t＋1，0）…………………………2分

（2）① 如图，点B’在点C的左侧时，2t＋1＜4  解得t＜1.5

当0＜t＜1.5时，设点A关于直线x＝t的对称点A’，A’B’与AC相交于点D，

过点D作DE⊥x轴，垂足为E，PC＝4－t，B’C＝4－(2t＋1)＝3－2t……………………3分

设直线AC解析式为y＝kx＋b，

将A（0，2），C（4，0）分别代入解析式得，

由对称性可知，∠ABO＝∠DB’E，又∵∠AOB＝∠DEB’

∴△ABO∽△DB’E

②当1.5≤t＜4时，点B’在点C的右侧或与点C重合（如图2）

另外的解法：如图，当1.5≤t＜4时，重合部分为三角形△CPQ，如图2

∵△CPQ∽△COA，

∵ ，

即 ，

则PQ＝ ．

于是S△QPC＝ （4－t） ＝ （1.5＜t≤4），

如图 当0＜t＜1.5时，重合部分为四边形DQPB’，

∵A点坐标为（0，2），

∴A′点坐标为（2t，2），

又∵B′点坐标为（2t＋1，0），

设直线A′B′解析式为y＝kx＋b，则将A′（2t，2），

和B′（2t＋1，0）分别代入解析式得， ，

解得k＝－2，b＝2＋4t．

解析式为y＝－2x＋（2＋4t），

将y＝－ x＋2和y＝－x＋（2＋4t）组成方程组得 ，

解得 ，

D点坐标为（8t，－4t＋2）．

由于B′坐标为（2t＋1，0），C点坐标为（4，0），

故B′C＝4－（2t＋1）＝3－2t，

S△QPC＝ （4－t） ＝ ，

S四边形QPB′D＝S△QPC－S△DB′C＝ － （3－2t）（－4t＋2）＝－ t2＋6t＋1（0＜t≤1.5）．

【解析】略