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(本题满分12分) 情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和...

(本题满分12分)

情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点DA(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.

观察图2可知:与BC相等的线段是      ,∠CAC′=      °.

说明: 6ec8aac122bd4f6e

问题探究:如图3,△ABC中,AGBC于点G,以A为直角顶点,分别以ABAC为直角边,向△ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,过点EF作射线GA的垂线,垂足分别为PQ. 试探究EPFQ之间的数量关系,并证明你的结论.

说明: 6ec8aac122bd4f6e

拓展延伸:如图4,△ABC中,AGBC于点G,分别以ABAC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GAEF于点H. 若AB= k AEAC= k AF,试探究HEHF之间的数量关系,并说明理由.

说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

【解析】 情境观察 AD(或A′D),90  问题探究 结论:EP=FQ.  证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理AG=FQ.  ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论: HE=HF.  理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q. ∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°, ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°, ∴∠ABG=∠EAP. 【解析】略
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说明: 6ec8aac122bd4f6e

说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

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说明: 6ec8aac122bd4f6e

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说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

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说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

根据以上信息,解答下列问题:

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