Question

如图，D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．

(1)证明：AB＝AC；

(2)证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；

(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．

Answer

解:

(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．  (1分)

在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD． (或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂线．)    (2分)

∴AB＝AC．   (3分)

(2)连BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO．  (或者：证全等也可得到BO＝CO．)

又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．     (4分)

∴点O是△ABC外接圆的圆心．      (5分)

（3）解法1：

∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠ABD=∠AEB．     又∵∠BAD=∠EAB，    ∴△ABD∽△AEB．

∴  (或者：由三角函数得到)      （6分）

在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=BC=3，  ∴AD=4．  （7分）

∴AE=．    (8分)

解法2：

∵AO＝BO， ∴∠ABO＝∠BAO．

∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°．

∴∠OBE＝∠OEB，  ∴OB＝OE．    (6分)

在 Rt△ABD中，∵AB=5，BD=BC=3，∴AD=4．

 设 OB＝x， 则 OD＝4－x，由32+（4-x)2=x2,解得x=．  (7分)

∴AE＝2OB＝．(8分)

解法3：

设AO的延长线与⊙O交于点E1，则AE1是⊙O的直径， ∴∠ABE1=90°．

在Rt△ABE和Rt△ABE1中，∵∠BAE＝∠BAE1，∠ABE＝∠ABE1＝90°，AB＝AB,

∴△ABE≌△ABE1，∴AE=AE1．    (6分)   (同方法2)  ∵BO=．  （7分）

∴AE=2OB=．  (8分)

【解析】略