Question

如图，在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直线AD于点E.

（1）当点E与D恰好重合时，求AD的长；

（2）当点E在边AD上时（E不与A、D重合），设AD=x，ED=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）问：是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由.

Answer

（1）3

（2），

（3）

【解析】【解析】
（1）当点E与D重合时，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，

            得△ABD∽△BDC，则，---------------------（2分）

            ∴，-----------------------------------------（1分）

            则.------------------------------（1分）

（2）作BH⊥DC，H为垂足，

     则∠ABE+∠EBH=, ∠EBH+∠HBC=，

∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=，

     ∴△ABE∽△HBC，------------------------------------（2分）

     又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=，

∴，即，--------------------------（2分）

解得，定义域为.----------------------（1分）

 （3）假设能使△ABE、△CDE与△BCE都相似，当点E在边AD上时，（如图1）

易知∠EBC=∠A=∠D=，

考虑∠1的对应角，容易得到∠1,∠1,

所以必有∠1=∠2=∠3=，

于是在△ABE、△CDE中，易得，,

∴,------------------------------------------（2分）

此时，,, BC=6, -----------------（1分）

即能使△ABE、△CDE与△BCE都相似；当点E在边AD的延长线上时，（如图2）

    类似分析可得∠1=∠2=∠3=，可求得,--------（2分）

同样能使△ABE、△CDE与△BCE都相似.