Question

如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer

（1）答：BD和⊙O相切.

证明：∵OD⊥BC,

∴∠OFB=∠BFD =90°,

∴∠D+∠3=90°.

∵∠4=∠D=∠2, ……………………………1分

∴∠2+∠3=90°,

∴∠OBD=90°,

即OB⊥BD.

∵点B在⊙O上，

∴BD和⊙O相切. ……………………………2分

(2) ∵OD⊥BC,BC=8,

∴BF=FC=4.   ……………………………3分

∵  AB=10,

∴OB=OA=5.

在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,

∵OB=5,BF=4,

∴OF=3.              ……………………………4分

∴tan∠1=.

在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,

∵tan∠1=, OB=5,

∴. …………………………… 5分

【解析】略