Question

（11·孝感）（满分10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交的延长线于点M.

（1）填空：∠APC＝______度，∠BPC＝_______度；（2分）

（2）求证：△ACM≌△BCP；（4分）

（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积.（4分）

Answer

【解析】
（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60°；……………………………………2分

（2）∵CM∥BP

∴∠BPM＋∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC＝60°

∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－(∠APC＋∠BPC)＝180°－120°＝60°

∴∠M＝∠BPC＝60°……………………………………4分

∴BC＝AC，∠BCA＝60°

∴∠PCM－∠ACP＝∠BCA－∠ACP

即∠ACM＝∠BCP……………………………………5分

在△ACM和△BCP中

∠M＝∠BPC       ∠ACM＝∠BCP     BC＝AC

∴△ACM≌△BCP……………………………………6分

（3）∵△ACM≌△BCP      ∴CM＝CP   AM＝BP

又∠M＝60°  ∴△PCM为等边三角形……………………………………8分

∴CM＝CP＝PM＝1＋2＝3

作PH⊥CM于H

在Rt△PMH中，∠MPH＝30°

【解析】略