Question

（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线C：y=x+4x+4(0＜＜2)，

  

（1）当C与x轴有唯一交点时，求C的解析式；

（2）若=1，将抛物线C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C，抛物线C与x轴相交于M、N两点（M点在N点的左边），直线y=kx（k＞0）与抛物线C相交于P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍，求k的值；

（3）若A（1，y），B（0，y），C（－1，y）三点均在C上，连BC，作AE∥BC交抛物线C于E，求证：当值变化时，E点在一条直线上．

Answer

（1）；（2）；（3）证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，可知有两个相等的实数根，据此求出a的值；

（2）设P（，），Q（，），得到、为方程－1=kx的两根，∴=－1 ∴=－，=2，进而得到k=；

（3）作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，则△AEG∽△BCD，设E(，) ，得到关于的等式，解得的值，即可得到点E所在的直线关系式．

试题解析：(1)抛物线C与x轴有唯一交点，即当y=0时，有两个相等的实数根，此时，解得：a=，因为0＜＜2，所以a=1，所以抛物线C的解析式为；

（2）设P（，），Q（，），则：=－4，∴=－4，且、为方程－1=kx的两根，∴=－1 ∴=－，=2，∴k=．

(3) 作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，则△AEG∽△BCD，∴，设E(，) ，∴=a+4+4a ，=4a ，=a－4+4a，=a+4+4a，∴，∵≠1，∴=－2，即E点在直线x=－2上．

考点：二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的综合应用．