Question

（本题8分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

Answer

（1）△ABC∽△FOA，理由详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，理由详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据垂直平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；

（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．

试题解析：（1）△ABC∽△FOA，理由如下：

因为直线l垂直平分线段AC，所以∠AFO=∠CFO，因为∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，所以∠AFO=∠CAB，因为∠ABC=∠FOA=90°，所以△ABC∽△FOA．

（2）四边形AFCE是菱形，理由如下：

由（1）知△ABC∽△FOA，所以∠ACB=∠FAC，因为AD∥BC，所以∠ACB=∠EAC，所以∠FAC=∠EAC，在△AOF与△AOE中，∠FAC=∠EAC，AO=AO，∠AOF=∠AOE，所以△AOF≌△AOE，所以AE=AF，OE=OF，因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形AFCE是平行四边形，所以四边形AFCE是菱形．

考点：矩形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质．