Question

（本题10分）等边⊿ABC的边长为6，点E、F分别是边AC、BC上的点，连结AF，BE相交于点P．

（1）若AE=CF： ①求∠APB的度数．（3分）②若AE=2，试求的值．（3分）

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．（4分）

Answer

（1）①120°；②12 ；（2）或3．

【解析】

试题分析：（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可得到答案；

②利用勾股定理求得AF的长度，再利用平行线分线段成比例定理或三角形相似的性质求得，即可得到答案；

（2）当点F靠近点C的时候，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案，点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC作的垂线段的长度．

试题解析：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，

∴△APE∽△ACF，

∴，即，所以AP•AF=12 ；

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．

①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，又∵AB=6，

∴OA=，

点P的路径是．

②当AE=BF时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；

∵等边三角形ABC的边长为6，∴点P的路径的长度为： ．

所以，点P经过的路径长为或3．

考点：等边三角形的性质；相似三角形的判定和性质；弧长公式．