Question

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．

（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠A CB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系 ？并证明这种关系．

（3）如图3，在△ ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）

Answer

（1）证明见解析；（2）BD+CE=DE，证明见解析；（3）BD-CE=DE．

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠DFB=∠CBF，∠ABF=∠CBF，推出∠DFB=∠DBF，根据等角对等边推出即可；

（2）与（1）证明过程类似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出结论；

（3）与（1）证明过程类似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出结论．

试题解析：（1）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB=∠CBF，

∴∠DFB=∠DBF，

∴BD=DF；

（2）BD+CE=DE，

理由是：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB=∠CBF，

∴∠DFB=∠DBF，

∴BD=DF；

同理可证：CE=EF，

∵DE=DF+EF，

∴BD+CE=DE；

（3）BD-CE=DE．

考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．