Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．

（1）求证：AH=HD；

（2）若AE:AD=，DF=9，求⊙O的半径。

Answer

（1）证明见解析；（2）10．

【解析】

试题分析：（1）由AB为⊙O的直径，DE=EC，根据垂径定理的推论，可证得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易证得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，继而可证得AH=EH，则可证得结论；

（2）由AB为⊙O的直径，可得∠BDF=90°，由BF是切线，可得∠DBF=∠C，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案．

试题解析：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，

∴AB⊥CD，

∴∠C+∠CBE=90°，

∵EG⊥BC，

∴∠C+∠CEG=90°，

∴∠CBE=∠CEG，

∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，

∴∠CDA=∠DEH，

∴HD=EH，

∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，

∴AH=EH，

∴AH=HD；

（2）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDF=90°，

∵BF是⊙O的切线，

∴∠DBF=∠C，

∵cos∠C=，DF=9，

∴tan∠DBF=，

∴BD=

∵∠A=∠C，

∴sin∠A=，

∴AB=，

∴⊙O的半径为10．

考点：1．切线的性质；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．相似三角形的判定与性质．