Question

在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），已知抛物线y=x²＋bx＋c过点A（4，0），B（1，－3）．

（1）求出该抛物线的函数解析式；

（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点P（m，n）是抛物线上在第一象限的点，点E与点P关于直线l对称，点E与点F关于y轴对称．若四边形OAPF的面积为48，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，设M是直线l上任意一点，试判断MP＋MA是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及相应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2－4x；（2）（6，12）（3）．

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法就可求出b和c，再将抛物线的解析式配成顶点式，就可解决问题．

（2）由条件可得E（4-m，n）、F（m-4，n），从而得到PF=4，由四边形OAPF的面积为48可求出点P的纵坐标，然后代入抛物线的解析式就可求出点P的坐标．

（3）由点E与点P关于直线l对称可得MP=ME，则有MP+MA=ME+MA，根据“两点之间线段最短”可得AE的长就是MP+MA的最小值，只需运用勾股定理就可解决问题．

试题解析：（1）把点A、B坐标代入抛物线解析式，得：．

解得：

所以，抛物线的解析式为y=x2－4x

（2）如图，由题意知：E点坐标为（4－m，n），F点坐标为（m－4，n）

∴PF=4

∵OA∥PF，OA=4

∴四边形OAPF是平行四边形

∵点P（m，n）是抛物线上在第一象限的点

∴n=m2－4m

∴4（m2－4m）=48

解得：m1=－2（舍去），m2=6，

∴点P的坐标为（6，12）

（3）MP＋MA存在最小值．

由（1）得，抛物线与x轴交于点A（4，0），O（0，0）

∵M是直线l上任意一点

∴MO=MA

∴当点O、M、P三点共线时，MP＋MA=MP＋MO=OP为最小值

∵点P的坐标为（6，12）

∴直线OP的解析式为y=2x

设M（2，t）

∴t=2×2=4

∴M（2，4）

此时线段OP的长度为．

考点：二次函数综合题