Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙O的切线．

Answer

（1）2π；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；

（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．

试题解析：（1）【解析】
∵AC=12，

∴CO=6，

∴==2π；

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，

，

∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO；

（3）证明：如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（1）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直径，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，

∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC为EF的中垂线，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切线．

考点：弧长公式，三角形全等，切线的性质