Question

（本题12分）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，连接EA，EC，求△ACE面积最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）A（-1，0），B（3，0），直线AC的函数表达式为y=-x-1；（2）S△AEC 的最大值为；（3）F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0）．

【解析】

试题分析：（1），令y=0，得，解方程可得点AB的横坐标，从而可得A（-1，0），B（3，0），将C点的横坐标为2代入.可得点C的坐标，然后设直线AC的函数解析式为，将A（-1，0）, C（2，-3）代入，可得直线AC解析式；（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），根据条件可表示出P、E的坐标以及线段PE的长，然后根据三角形的面积公式可表示出△ACE面积，将关系式配方可解；（3）观察图形找出所有可能的情况，利用平行四边形的性质分情况解答.

试题解析：【解析】
（1）令y=0，,解得x=-1或x=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

将C点的横坐标x=2，代入，得：y=-3，∴C（2，-3）；

设直线AC的函数解析式为，将A（-1，0）, C（2，-3）代入，

得，解得，∴直线AC的函数表达式为y=-x-1.

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），

则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），

∴PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴S△AEC=，

∴当时，S△AEC 的最大值为；----8分

（3）存在4个这样的点F，分别是：F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0）．（每写对一个得1分）

参考解答如下：

①如图1，连接C与抛物线和y轴的交点G，那么CG∥x轴，当AF=CG=2时，此时四边形ACGF为平行四边形，因此F点的坐标是（﹣3，0）；

图1

②如图2，AF=CG=2，此时四边形AGCF为平行四边形，因此F点的坐标为（1，0）；

图2

③如图3，

图3

设F（x，0）, 当四边形ACFG为平行四边形时，可求得G（x-3,3）,代入抛物线,得，，因此F点的坐标为（4+，0）或（4-，0）.

考点：1.待定系数法求函数解析式；2.二次函数的性质；3. 平行四边形的性质；4.分类讨论思想.