Question

如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－3，0）、B（－1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y＝kx－4k （k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当点P的坐标为（－4，m）时，求证：∠OPC＝∠AQC；

（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；

②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．

Answer

（1）y=x2+4x+3；

（2）见解析；

（3）①②能，点P的坐标或

【解析】

试题分析：（1）因为二次函数的图象过点A（－3，0）、B（－1，0），所以设该函数的函数关系式为y=a（x+3）（x+1） ，把点C（0，3）代入即可；（2）求出点P的坐标，点Q的坐标，可证PC∥OQ，PC=OQ=4，所以四边形POQC是平行四边形，得证；（3）①连结AN，则AM=3t，过点N作NG⊥AQ于点G，证明△QGN∽△QOC，可得NG=，然后根据三角形的面积公式可得S与时间t的函数关系式，然后利用二次函数的性质可解决问题；②猜想：直线PQ能垂直平分线段MN ，然后根据条件求出直线PQ的函数关系式为 ，然后求直线PQ与抛物线的交点坐标即可.

试题解析：【解析】
（1）∵二次函数的图象过点A（－3，0）、B（－1，0），∴设该函数的函数关系式为y=a（x+3）（x+1）

又∵函数的图象过点C（0，3），∴3a=3， a=1

∴二次函数的函数关系式为y=（x+3）（x+1），即y=x2+4x+3 （3分）

（2）∵点P的坐标为（－4，m），∴（－4）2+4×（－4）+3=m，得m=3，则点P的坐标为（－4，3）

又点C的坐标为（0，3），∴PC∥OQ ， PC=4

∵Q是一次函数y=kx－4k的图象与x轴的交点，∴当y=0时，kx－4k=0，即k（x－4）=0

∵k≠0， ∴x=4，∴点Q的坐标为（4，0）

∵PC=OQ=4，∴四边形POQC是平行四边形，∴∠OPC=∠AQC （6分）

（3）①连结AN，则有AM=3t，CN=t∵点C的坐标为C（0，3）， ∴OC=3

由（2）得OQ=4， ∴CQ=5，∴QN=5－t

过点N作NG⊥AQ于点G，

则△QGN∽△QOC，∴，，∴NG=

∴△AMN的面积为S与时间t的函数关系式为即

∵点M从点A运动到点Q需秒，点N从点C运动到点Q需5秒，∴点M先到达点Q，即

∵当时，S随着t的增大而增大，∴当△AMN的面积最大时， （9分）

②直线PQ能垂直平分线段MN

当NQ=MQ，且PQ与MN的交点H是MN的中点时，PQ垂直平分线段MN，

∵QN=5－t，MQ=7－3t，则5－t=7－3t， ∴t=1

即t=1，且PQ与MN的交点H是MN的中点时，直线PQ垂直平分线段MN，

此时NQ=MQ=4，点M的坐标为（0，0）

由①可得

，

∴， ∴点N的坐标为（，）

∴线段MN的中点H的坐标为（，）

∴

∴线段MN的垂直平分线段PQ的函数关系式为

∵点P是直线PQ与抛物线y=x2+4x+3的公共点，∴

解得 ，，

∴点P的坐标为或 （12分）

考点：1.待定系数法求函数解析式；2.平行四边形的判定与性质；3.相似三角形的判定与性质；4.函数的交点坐标.