Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C， 那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

Answer

（1）y=x2-2x-3；（2）点P（，-）；（3）当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，-），四边形ABPC的面积．

【解析】

试题分析：（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；

（2）由于四边形POP′C为菱形，OC必为对角线，进而可知OC的中垂线与y轴右边的抛物线部分的交点即为P点，且P点的纵坐标为OC长的一半的相反数，最终可得P点的坐标．

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．

试题解析：（1）∵点B（3，0），C（0，-3）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，

∴将B、C两点的坐标代入得

，解得：

∴二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为-，代入抛物线y=x2-2x-3中，得：-=x2-2x-3，

解得 x1=，x2=（舍去）

∴点P（，-）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，

设P（x，x2-2x-3），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵B（3，0），C（0，-3），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x-3．

∴Q点的坐标为（x，x-3），

∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=AB•OC+QP•OE+QP•EB

=×4×3+（3x-x2）×3

=-（x-）2+，

∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，-），四边形ABPC的面积．

考点：二次函数综合题．