Question

如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．

（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；

（2）当时，求的长．

Answer

（1）直线BD和⊙O相切；理由见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°所以则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直与AB，所以BD为切线．

（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又有（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可有勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD．

试题解析：（1）直线BD和⊙O相切

∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB

∵OD⊥BC

∴∠DBC+∠ODB=90°

∴∠DBC+∠ABC=90°

∴∠DBO=90°

∴直线BD和⊙O相切．

（2）连接AC

∵AB是直径

∴∠ACB=90°

在Rt△ABC中，AB=10，BC=8

∴AC=

∵直径AB=10

∴OB=5．

由（1），BD和⊙O相切

∴∠OBD=90°

∴∠ACB=∠OBD=90°

由（1）得∠ABC=∠ODB，

∴△ABC∽△ODB

∴

∴，

解得BD=

考点：1.圆的切线的性质定理的证明；2.圆的切线的判定定理的证明．