Question

（本小题满分12分）点P为抛物线y=x²-2mx+m²（m为常数，m>0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A，B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．

（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

（2）设点Q（a，b），用含m，b的代数式表示a；（直接写出结果）

（3）如图，点Q在第一象限内，点D在并轴的正半轴上，点C为OD的中点，QD平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．

Answer

（1）Q（-2，2）（2）a=m-b2．（3）m=1.

【解析】

试题分析：(1) 连接QG，PG，过点Q作QF⊥x轴于点，，过点P作PE⊥x轴于点E,要想求Q点的坐标，只需要求出FO，FQ的长即可，而证明ΔCQF≌ΔPGE可得；(2) 用含m，b的代数式表示a，a=m-b2．(3) 延长QC到点E，使CE=CQ，连接OE，然后可证ΔECO≌ΔQCD，ΔAQO≌ΔEQO，从而可得OE=DQ=m，AO=EO=m，根据A（0，m）在新的图象上，可得0=m-m2，解得m1=1，m2=0（舍）．所以m=1．

试题解析：【解析】
（1）当m=2时，y=（x-2）2，则G（2，0），P（4，4）．（1分）

如图，连接QG，PG，过点Q作QF⊥x轴于点，，过点P作PE⊥x轴于点E．

依题意，可得ΔCQF≌ΔPGE， （3分）

则FQ=EG=2，FG=EP=4，

∴FO=2，∴Q（-2，2）． （5分）

（2）用含m，b的代数式表示a，a=m-b2． （8分）

（3）如图，延长QC到点E，使CE=CQ，连接OE．

∵C为OD中点，∴OC=CD．

∵∠ECO=∠QCD，∴ΔECO≌ΔQCD．

∴OE=DQ=m． （9分）

∵AQ=2QC，∴AQ=QE．

∵QO平分∠AQC，∴∠1=∠2．

∴ΔAQO≌ΔEQO． （10分）

∴AO=EO=m．∴A（0，m）． （11分）

∵A（0，m）在新的图象上，∴0=m-m2．

∴m1=1，m2=0（舍）．∴m=1． （12分）

考点：1.函数与坐标轴的交点；2.全等三角形的判定与性质；3.一元二次方程.