Question

（本小题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是圆上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．

（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线?请说明理由；

（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

Answer

（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线；（2）DP=．

【解析】

试题分析：（1）根据题意猜想当点P是的中点时，DP是⊙O的切线，因为DP∥BC，所以只需要证明PA⊥BC，可得DP⊥PA，而在△ABC中利用三线合一可证PA⊥BC；（2）连接OB，设PA交BC于点E．在RtΔABE和RtΔOBE中，由勾股定理，可求AE和⊙O的半径的长，然后证明ΔABE∽ΔADP，利用相似三角形的性质可得DP=．

试题解析：【解析】
（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线． （1分）

理由如下：

连接AP，∵AB=AC，∴=．

又∵=，∴=．

∴PA是⊙O的直径． （2分）

∵=，∴∠1=∠2．

又∵AB=AC，∴PA⊥BC． （3分）

又∵DP∥BC，∴DP⊥PA．

∴DP是⊙O的切线． （4分）

（2）连接OB，设PA交BC于点E．

由垂径定理，得BE=EC=6． （5分）

在RtΔABE中，由勾股定理，

得AE===8． （6分）

设⊙O的半径为r，则OE=8-r，

在RtΔOBE中，由勾股定理，

得，解得r=． （8分）

∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D．

又∵∠1=∠1，∴ΔABE∽ΔADP，

∴，即，解得DP=． （10分）

考点：1.切线的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质.