Question

（本小题满分10分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连接AF，EF．

（1）求证：AD=ED；

（2）如果AF∥CD，求证：四边形ADEF是菱形．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据条件证明ΔABD≌ΔEBD，可得AD=ED；（2）由（1）知AD=ED，所以要证明四边形ADEF是菱形，只需要证明AF∥DE，AF=DE，得四边形ADEF是平行四边形即可．

试题解析：证明：（1）∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．∴∠ADB=∠CDB．（2分）

又∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD=∠BED=90°．

于是，在ΔABD和ΔEBD中，∵∠ADB=∠CDB，

∠BAD=∠BED，BD=BD，∴ΔABD≌ΔEBD． （4分）

∴AD=ED． （5分）

（2） ∵AF∥CD，∴∠AFD=∠EDF．

∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD． （7分）

又∵AD=ED，∴AF=DE．

于是，由AF∥DE，AF=DE，

得四边形ADEF是平行四边形． （9分）

又∵AD=ED，∴四边形ADEF是菱形． （10分）

考点：1. 等腰三角形的性质2. 全等三角形的判定与性质；3. 菱形的判定.