Question

（本小题满分8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；

（2）点E是否在AB的垂直平分线上？若在，请进行证明；若不在，请说明理由．

Answer

（1）菱形，证明见解析；（2）点E在AB的垂直平分线上.

【解析】

试题分析：（1）观察图形可猜测：四边形OCED为菱形，先证明四边形DOCE是平行四边形，然后再证明有一组领边相等即可；（2）连接AE,BE，通过证△ADE≌△BCE得出 AE=BE即可．

试题解析：证明：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形DOCE是平行四边形，

∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴AO=CO=DO=BO，

∴平行四边形OCED为菱形； 4分

（2）【解析】
AE=BE． 5分

理由：连接AE,BE

∵四边形OCED为菱形，

∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，

∴∠ADE=∠BCE，

在△ADE和△BCE中，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴AE=BE．

∴点E在AB的垂直平分线上 8分

考点：1.矩形的性质；2. 菱形的判定；3.全等三角形的判定与性质；4.线段的垂直平分线.