Question

如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．

（1）k=    ；

（2）试说明AE=BF；

（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．

Answer

（1）3；（2）证明见解析；（3）（1，﹣2）．

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=3；

（2）设A点坐标为（a，），易得D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），根据图形与坐标的关系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，则可计算出，加上∠CPD=∠BPA，根据相似的判定得到△PCD∽△PBA，则∠PCD=∠PBA，于是判断CD∥BA，根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，所以BE=CD，AF=CD，则BE=AF，于是有AE=BF；

（3）利用四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD，和三角形面积公式得到•（3﹣）•（1﹣a）﹣•1•（﹣）=，整理得2a2+3a=0，然后解方程求出a的值，再写出P点坐标．

试题解析：（1）把B（1，3）代入y=得k=1×3=3；

（2）反比例函数解析式为y=，

设A点坐标为（a，），

∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，

∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），

∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，

∴，，

∴，

而∠CPD=∠BPA，

∴△PCD∽△PBA，

∴∠PCD=∠PBA，

∴CD∥BA，

而BC∥DE，AD∥FC，

∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，

∴BE=CD，AF=CD，

∴BE=AF，

∴AF+EF=BE+EF，

即AE=BF；

（3）∵四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD，

∴•（3﹣）•（1﹣a）﹣•1•（﹣）=，

整理得2a2+3a=0，解得a1=0（舍去），a2=﹣，

∴P点坐标为（1，﹣2）．

考点：反比例函数综合题．