Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求证：CB∥MD；

（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．

Answer

（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

试题分析：（1）由∠C与∠M是所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；

（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=，即可求得⊙O的直径．

试题解析：（1）证明：∵∠C与∠M是所对的圆周角，

∴∠BCD=∠M，

又∵∠1=∠C，

∴∠1=∠M，

∴CB∥MD；

（2）【解析】
连接AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵CD⊥AB，

∴

∴∠A=∠M，

∴sinA=sinM，

在Rt△ACB中，sinA=，

∵sinM=，BC=4，

∴

解得，AB=6，

即⊙O的直径为6．

考点：1.圆周角定理；2.垂径定理；3解直角三角形．