Question

如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于        ．

Answer

1cm或2cm．

【解析】

试题分析：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．

试题解析：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=DC=PN，

在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，

∴tan30°=

即DE=cm，

根据勾股定理得：AE=cm，

∵M为AE的中点，

∴AM=AE=cm，

在Rt△ADE和Rt△PNQ中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），

∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，

∵PN∥DC，

∴∠PFA=∠DEA=60°，

∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，

在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，

∴AP=cm；

由对称性得到AP′=DP=AD-AP=3-2=1cm，

综上，AP等于1cm或2cm．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．解直角三角形．