Question

（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PCO=∠POC？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

Answer

（1）y=﹣x2+3x+4；（2）存在．点P的坐标是：（，2）或（，2）；（3）存在．P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）.

【解析】

试题分析：（1）求出点BC的坐标，设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解方程再即可；（2）线段OC的垂直平分线l：y=2与抛物线y=﹣x2+3x+4的交点即为点P；（3）假设存在，分以C为直角顶点和点A为直角顶点，两种情况讨论即可.

试题解析：

【解析】
（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，

则，

解得：，

则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4； 4分

（2）存在． 5分

作线段OC的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．

∵C（0，4），O（0，0），

∴直线l的表达式为y=2；．代入抛物线的表达式，

得2=﹣x2+3x+4； 6分

解得，x=

∴点P的坐标是：（，2）或（，2）.............8分

（3）存在． 9分

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴﹣m2+3m+4=6，

即P（2，6）． 12分

第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠F P2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）+4

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴﹣n2+3n+4=﹣6，

则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）； 14分

考点：1.待定系数法求解析式；2.两函数的交点坐标；3.一元二次方程；4.直角三角形的性质.