Question

（本题满分10分）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，下面我们就来研究其中的几种位置关系中角所存在的几种数量关系．

（1）问题探究1：

如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD +∠B，得∠BPD=∠D -∠B．

将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）问题探究2：在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，如图③，则∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之间有何数量关系？请证明你的结论；

（3）根据（2）的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer

（1）不成立．结论是∠BPD+∠B+∠D=360；（2）∠BPD=∠B+∠PDQ +∠BQD ；（3） ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

【解析】

试题分析：（1）过点P作PE//AB,根据平行线的性质可得∠BPD+∠B+∠D=360 ； （2）连接QP并延长至E，：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；（3）利用三角形外角的性质将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F转化为四边形的内角和．

试题解析：（1）不成立．结论是∠BPD+∠B+∠D=360，

过点P作PE//AB,则∠BPE+∠B=180,

又AB∥CD，所以PE//CD,

所以∠D+∠DPE=180,

所以∠BPE+∠B+∠D+∠DPE=360，

即∠BPD+∠B+∠D=360 ；

（2）∠BPD=∠B+∠PDQ +∠BQD

连接QP并延长至E，

∵∠BPE是△BPQ的一个外角，

∴∠BPE=∠BQP+∠B

同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ

∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ

即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD

（3） ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360

考点：1．平行线的判定与性质；2．三角形外角的性质；3．四边形内角和．