Question

如图，∠BAD=∠CAE=90^o，AB=AD，AE=AC， AF⊥CF，垂足为F

（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；

（2）求证：AC平分∠ECF；

（3）求证：CE=2AF

Answer

(1)四边形的面积为50；(2)见解析；(3)见解析

【解析】

试题分析：(1)先证明△ABC≌△ADE，然后根据，即可得出答案；

根据△ACE是等腰直角三角形，得出∠ACE=∠AEC=45o，由△ABC≌△ADE得出∠ACB=∠AEC=45o，即可证明；

过点A作AG⊥CG，垂足为点G 然后利用(2)中结论，进行等量代换即可证明

试题解析：（1）∵∠BAD=∠CAE=90o，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAC=∠EAD （1分）

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE(SAS) （2分）

∵

∴ （3分）

（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠AEC=45o，

由△ABC≌△ADE得：

∠ACB=∠AEC=45o，

∴∠ACB=∠ACE,

∴AC平分∠ECF （6分）

（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，

∴AF=AG，

又∵AC=AE,

∴∠CAG=∠EAG=45o,

∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45o,

∴CG=AG=GE，

∴CE=2AG，

∴CE=2AF （9分）

考点：等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定和性质