Question

（本题满分14分）

问题1如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．

研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是什么？

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是什么？

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．

研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是什么？

Answer

(1)∠BDA′=2∠A；(2)∠BDA′+∠CEA′=2∠A；(3)∠BDA′-∠CEA′=2∠A；

(4)∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论；

（2）连接AA′，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（3）连接AA′构造等腰三角形，然后结合三角形的外角性质进行探讨证明；

（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨．

试题解析：（1）根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；

（2）由图形折叠的性质可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，

①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE

即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），

故∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．

证明如下：

连接AA′构造等腰三角形，

∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，

得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，

（4）如图④，由图形折叠的性质可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，

两式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）

即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），

所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）.