Question

（本题满分14分）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′．

（1）求点D′刚好落在对角线AC上时，线段D′C的长；

（2）求点D′刚好落在线段BC的垂直平分线上时，DE的长；

（3）求点D′ 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长．

Answer

(1)；(2)；(3)点D′ 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10.

【解析】

试题分析：(1)根据点A、D′、C在同一直线上，计算即可得出答案；

利用线段垂直平分线的性质，由勾股定理即可得出；

(3)分两种情况讨论：①当点D′在矩形内部时，②当点D′在矩形外部，然后利用勾股定理即可得出.

试题解析： (1)如图，∵点A、D′、C在同一直线上，

∴ D′C＝AC－AD′＝AC－AD＝；

连接D′D，

∵点D′在BC的垂直平分线上，

∴点D′在AD的垂直平分线上，

∴D′D＝AD′＝AD，设DE为x，易得AE＝2x，

由勾股定理得：，

∴x＝（或）；

(3)分两种情况讨论：

①当点D′在矩形内部时，如下左图，连接D′B，

∵点D′在AB的垂直平分线上，

∴AN＝4，

∵AD′＝5，由勾股定理得D′N＝3，

∴D′M＝2，设DE为y，

∴EM＝4－y，D′E＝y，在△EMD′中，由勾股定理得：，

∴y＝，

即DE的长为 ；

②当点D′在矩形外部时，如下右图，连接D′B，

同①的方法可得D′N＝3，∴D′M＝8，设DE为z，

∴EM＝z－4，D′E＝z，在△EMD′中，由勾股定理得：，

∴z＝10 ，即DE的长为10.

综上所述，点D′ 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10.

考点：图形的翻折；折叠的性质.