Question

（本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴交z轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：点A坐标为     ，抛物线的解析式为     ；

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位／秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位／秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位／秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

Answer

（1）（1，4），；（2）；（3），最大值为1．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；

（2）若PQ所在的直线经过点D，由DE∥CP，得到△DEQ∽△PCQ，得到，即：，解出t的值即可；

（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据可得，依此即可求解．

试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得，解得，故抛物线的解析式为，即；

（2）若PQ所在的直线经过点D，∵DE∥CP，∴△DEQ∽△PCQ，∴，即：，整理得：，解得或（舍去），∴当（s）时，PQ所在的直线经过点D；

（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为，则：，解得，故直线AC的解析式为，∵P（1，），将代入中，得，∴Q点的横坐标为，将代入中，得，∴Q点的纵坐标为，∴QF=，∴=FQ•AG+FQ•DG=FQ（AG+DG）=FQ•AD==，

∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

考点：1．二次函数综合题；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．矩形的性质；5．代数几何综合题．