Question

（本题满分12分）

如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D．

（1）如图1，连接BD并延长BD交AC于点E，连接AD．

①证明：△CDE∽△CAD；

②若AB＝2，AC＝．求CD和CE的长；

（2）如图2，过点C作⊙O的另一条切线，切点为F，连结AF、BF，若OC＝BF，求的值．

Answer

(1)①证明见试题解析；②CD=2，CE=；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由AC是⊙O的切线，得到∠1+∠BAD=90°，又由AB是⊙O的直径，得到∠B+∠BAD=90°，故有∠1=∠B，又由OB=OD，得到∠2=∠B，又因∠2=∠3，得到∠3=∠B，得到∠1=∠3，由∠C=∠C，得到△CDE∽△CAD；

（2）在Rt△AOC中，算出OC，进而算出CD的长，由△CDE∽△CAD，得到，解出CE的长；

（3）由△ABF∽△COA，得到，故，又OC=BF，AB=2r，OA=r，得到，得到BF=，OC=3r，在Rt△COA中，由勾股定理求出CA的长，再算．

试题解析：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠1+∠BAD=90°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠1=∠B，又∵OB=OD，∴∠2=∠B，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠B，∴∠1=∠3，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD；

（2）在Rt△AOC中，OC=，∴CD=OC－OD=3－1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即，∴CE=；

（3）由△ABF∽△COA，∴，∴，又OC=BF，AB=2r，OA=r（r为⊙O的半径），∴，∴BF=，OC=3r，在Rt△COA中，由勾股定理知：CA=，∴．

考点：圆的综合题．