Question

在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.

(1)、若点E是AB的中点，如图1，求证：AE=DB.

(2)、若点E不是AB的中点时，如图2，试确定线段AE与DB的大小关系，并写出证明过程.

Answer

(1)、见解析；(2)、AE=DB

【解析】

试题分析：(1)、根据角平分线性质得出∠D=∠ECB=30°，根据外角的性质得出∠BED=30°，从而说明BD=BE，根据中点的性质得出BE=AE，从而说明结论；(2)、过点E作EF∥BC，证明△DBE和△EFC全等，从而得出结论.

试题解析：（1）在等边△ABC中，点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB.

∵∠ACB=60°，且ED=EC. ∴∠D=∠ECB=30°.

∵∠ABC=∠D+∠BED，∠D=30° ∴∠BED=30° ∴BD=BE

又∵点E是AB的中点，∴AE=BE ∴AE=BD

(2)、过点E作EF∥BC交AC于点F

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， ∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF

在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF，∠DBE=∠EFC，DE=EC， ∴△DEB≌△ECF.

∴BD=EF=AE，即AE=BD.

考点：三角形全等的证明.