Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：点A坐标为    ，抛物线的解析式为    ；

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位／秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位／秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位／秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

Answer

（1）点A坐标为（1，4），；（2）当t=1（s）时，PQ所在的直线经过点D；（3）当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

【解析】

试题分析：（1）利用矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）和对称轴x=1可得点A得坐标（1，4），设抛物线的解析式为 把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a= -1；（2）若PQ所在的直线经过点D，因为DE//CP，所以△DEQ∽△PCQ，从而可得，解方程即可（3）先求出直线AC的解析式y=﹣2x+6，把P（1，4﹣t），代入可表示出点Q的坐标，用含有t的代数式表示出S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ，然后根据二次函数的性质解答即可．

试题解析：【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为 把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得，解得a=﹣1．故抛物线的解析式为

即；

（2）若PQ所在的直线经过点D，因为DE//CP，所以△DEQ∽△PCQ，所以, ，，解得（舍去），当t=1（s）时，PQ所在的直线经过点D．

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（1，4），C（3，0），则，解得．

故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，∴Q点的横坐标为1+，

将x=1+代入中，得y=4﹣．

∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQ•AG+FQ•DG=FQ（AG+DG）=FQ•AD=×2（t﹣）=，

∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

考点：1．矩形的性质；2．待定系数法；3．相似三角形的判定与性质；4．二次函数的性质．