Question

如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数（，）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连接EF，OF．

（1）若，求反比例函数的解析式．

（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与轴的位置关系，并说明理由．

（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF:FA的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（x＞0）；（2）圆与y轴相离；（3）存在，BF：AF=1：4.

【解析】

试题分析：（1）设F（x，y），根据条件可得xy=k=；（2）过点E作EG⊥y轴，垂足为G，然后判断线段EA与EG的大小关系即可；（3）假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设OH= m．然后用m表示出AF=8-4m，BF=4m-4，以及点E、F的坐标，利用点E、F在反比例函数上求出m的值m= ，从而可解得BF：AF=（4m-4):（ 8-4m )=1：4.

试题解析：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y

∴S△OCF=xy=，即xy=2.∴k=2

∴反比例函数解析式为（x＞0） 3分

（2）该圆与y轴相离，理由如下：

过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

∵△AOB是等边三角形，

∴OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

∴

∴EG:OG:OE=1: :2

设OH=m

∴OG=m，OE=2m。

∴E坐标为（m，m），

∵E在反比例图象上，

∴。

∴m1=，m2=-（舍去）。

∴OE=2，EA=4﹣2，EG=。

∵4﹣2＜，∴EA＜EG。

∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离。 7分

（3）存在。

假设存在点F，使AE⊥FE，

过E点作EH⊥OB于点H，设OH= m．

∵△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°。

∴

∴EG:OG:OE=1: :2

设OH=m

∴OG=m，OE=2m

∴AE=4-2m

∵△AEF是直角三角形，

∴AF=8-4m

∴BF=4m-4

∵△BCF是直角三角形，

∴CB=2m-2

CF=CB=2 m-2

∴F（6-2m, 2 m-2 ）

∵E、F都在双曲线的图象上，

∴mXm=（6-2m）X（ 2 m-2 ）

解得：m= ，BF：AF=（4m-4):（ 8-4m )=1：4 12分

（注：用其他办法的也可得分）

考点：1.反比例函数的性质；2．等边三角形的性质；3.直角三角形的性质；4.直线与圆的位置关系.