Question

已知：函数y=ax²﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．

（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；

（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）两点，与y轴相交于点C，且x₂﹣x₁=2．

①求抛物线的解析式；

②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer

（1）a=0或﹣或﹣1；（2）①y=x2﹣4x+3②.

【解析】

试题分析：（1）分一次函数和二次函数两种情况讨论；（2）①根据题意可得x1，x2为ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的两个根，然后利用根与系数的关系，将x2﹣x1=2进行变形消去x1，x2，，解以a为未知数的方程即可；②根据条件求出点A、B、C、D的坐标，过点D作DE⊥CB于E，可证△EDB为等腰直角三角形，利用勾股定理求出DE、CD的长，根据定义可求sin∠DCB的值．

试题解析：【解析】
（1）函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数），

若a=0，则y=﹣x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）； 1分

若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=﹣，有两个交点（0，0），（1，0）； 2分

若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令△=0有：

△=（3a+1）2﹣4a（2a+1）=0，解得a=﹣1，有两个交点（0，﹣1），（1，0）．

综上得：a=0或﹣或﹣1时，函数图象与坐标轴有两个交点． 4分

（2）①∵函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，

∴x1，x2为ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的两个根，

∴x1+x2=，x1x2=，∵x2﹣x1=2，

∴4=（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣4•，

解得a=﹣（函数开口向上，a＞0，舍去），或a=1，

∴y=x2﹣4x+3． 8分

②∵函数y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，

∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），∵D为A关于y轴的对称点，∴D（﹣1，0）．

根据题意画图，

如图1，过点D作DE⊥CB于E，∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠CBO=45°，∴△EDB为等腰直角三角形，

设DE=x，则EB=x，∵DB=4，∴x2+x2=42，∴x=2，即DE=2．

在Rt△COD中，∵DO=1，CO=3，∴CD==，∴sin∠DCB==． 14分

考点：1.函数与坐标轴的交点；2.一元二次方程根与系数的关系；3.勾股定理；4.三角函数.