Question

（本题满分12分）如图，二次函数的图象与x轴交与A（4，0），并且OA＝OC＝4OB，点P为过A、B、C三点的抛物线上一动点．

（1）求点B、点C的坐标并求此抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以点C为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer

（1）B（－1,0）；C（0,4）；；（2）P（2,6）；（3）点或

【解析】

试题分析：（1）根据点A的坐标和OA=OC=4OB求出点B和点C的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；（2）过点C作CP⊥AC，过点P作PM垂直y轴，设出点P的坐标，根据OM=OC+MC=OC+PM=4+m列出方程求出m的值；（3）四边形OFDE是矩形，则OD=EF，据垂线段最短，可知：当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短.根据（1）求出AC的长度，根据中点得出点P的纵坐标，列出关于x的方程，求出x的值.

试题解析：（1）∵A（4，0） ∴OA=4 又∵OA=OC=4OB ∴OC=4，OB=1

∴B（-1，0），C（0，4） 设抛物线的解析式为：

把C（0，4）代入得： ∴ ∴

∴抛物线的解析式为：

（2）存在 过点C作.交抛物线于点，过点作轴于点M.

∵ ∴ 又∵ ∴

∴ ∴

∵在抛物线上. ∴设

∴

∴ ∴ ∴

∴ ∴

（3）连OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则，据垂线段最短，可知：当时，OD最短，即EF最短.

由（1）知，在Rt△AOC中， ∴

又∵D为AC的中点. ∴DF∥OC ∴ ∴点P的纵坐标是2.

∴ ∴ ∴当EF最短时，点或

考点：二次函数的性质.