Question

（本题满分12分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．

（1）当x为何值时，PQ∥BC；

（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB，若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说理由；

（3）当时，求的值．

Answer

（1）x=；（2）AP=；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据PQ∥BC可得△APQ∽△ABC，从而求出x的值；（2）根据相似三角形的性质可得，然后求出x的值；（3）根据三角形的面积之比得出CQ：AC=1:3，根据AC的长度求出CQ的长度，然后计算出x的值，然后求出AP：AB的值，从而得出三角形的比值.

试题解析：（1）由题意知 AP=4x，CQ=3x若PQ∥BC 则△APQ∽△ABC

∵AB=BC=20 AC=30 ∴AQ=30―3x

∴ ∴ ∴当时，PQ∥BC.

（2）存在

∵△APQ∽△CQB 则 ∴

∴ ∴. .

∴当AP的长为时，△APQ∽△CQB

（3）∵ ∴ 又∵AC=30 ∴CQ=10

即 此时，

∴ ∴

考点：三角形相似的应用.