Question

（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．

（1）求证：BC ²＝BD•BA；（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）相切.

【解析】

试题分析：（1）根据直径可得∠ADC=∠BDC=90° 根据∠ACB=90° ∠B=∠B得出△BCD和△BAC相似，从而得出结论；（2）连接OD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出∠EDC=∠ECD，根据OD=OC得出∠ODC=∠OCD，根据∠OCD+∠DCE=90°得出∠EDC+∠ODC=90°，从而说明∠EDO=90°，得出相切.

试题解析：（1）∵AC为的直径. ∴ ∴

又∵ ∴ 又∵

∴△BCD∽△BAC ∴ 即

（2）DE与相切 连结DO

∵，E为BC的中点.

∴ ∴∠EDC=∠ECD

又∵在中，OD=OC ∴ 而

∴ 即 ∴

又∵点D在上 ∴DE与相切

考点：三角形相似的应用，切线的判定.