Question

已知：在△ABC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC=2∠EBC．

（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB=       °，∠AEC=       °；

（2）如图2．①求证：AE＋AC=BC； ②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．

Answer

（1）54；99；（2）①、见解析；②、20°.

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解；（2）利用截取法来证明△ACE和△FCE全等，然后通过角度之间的关系来进行求解.

试题解析：（1）54，99；

（2）①证明：在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF．（如图）

∵CD平分∠ACB， ∴∠1=∠2．

在△ACE和△FCE中，AC=FC，∠1=∠2， EC=EC，

∴△ACE≌△FCE．

∴∠3=∠4， AE=FE．

∵∠4=∠5+∠6， ∴∠3=∠5+∠6．

∵∠3=2∠6， ∴∠5=∠6．

∴FB=FE． ∴AE=FB． ∴AE＋AC= FB＋FC= BC．

②【解析】
连接AF．（如图） ∵∠1=∠2=30°，

∴∠ACF=∠1+∠2=60°． ∵AC=FC，

∴△ACF是等边三角形． ∴AF=AC，∠FAC=60°．

∵AC=BE， ∴BE=AF．

在△BFE和△AEF中， BF=AE， FE=EF， BE=AF，

∴△BFE≌△AEF． ∴∠6=∠7．

∵∠7+∠3=60°， ∴∠6+∠3=60°． ∵∠3=2∠6， ∴∠6+2∠6=60°． ∴∠6=20°．

即∠EBC=20°．

考点：三角形全等的证明及性质，角度之间的关系.