Question

如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1，∠BAE=30°．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB＇E＇（如图2），使点E落在CD边上的点E＇处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；

（2）；

（3）没有变化，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）要证△ABE≌△BCF，已知条件是AB=BC ，∠ABE=∠BCF=90°，只需要再有一条边或一个角对应相等即可，而通过已知条件可以得到∠BAE=∠CBF，利用ASA即可证全等了；

（2）由（1）△ABE≌△BCF，可得∠FBC=∠BAE=30°，又BE=1，∠BGE=90°，从而可得GE=，利用勾股定理可得GB的长，从而可得△BEG）的面积；

（3）由已知条件可得Rt△ABE≌Rt△AB＇E＇≌Rt△AD E＇， △BAG≌△HAG，从而可得S四边形B’E’HG=S△AB’E’-S三角形AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG，即重叠部分的面积没有变化.

试题解析：⑴∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，

∴∠ABF+∠CBF=900，∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=900，

∴∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF.

⑵∵△ABE≌△BCF，∴∠FBC=∠BAE=30°，∵BE=1，∠BGE=90°，∴GE=，∴GB==

∴S△BGE=××=.

（3）没有变化，易证Rt△ABE≌Rt△AB＇E＇≌Rt△AD E＇， △BAG≌△HAG，

∴S四边形B’E’HG=S△AB’E’-S三角形AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化.

考点：1、正方形的性质；2、三角形全等的判定与性质；3、旋转的性质；4、勾股定理.