Question

学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米.图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖.

（1）要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？

（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元.当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

Answer

(1) 10米或35米；（2）22.5，199500．

【解析】

试题分析：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“白色地板砖的面积=4个小正方形的面积+中间矩形的面积”列出一元二次方程求解即可；

（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“总费用=铺白色地面砖的费用+铺绿色地面砖的费用”列出y关于x的函数，求得最小值．

试题解析：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得：

4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）=5200

整理，得：x2﹣45x+350=0（3分）

解之，得：x1=35，x2=10，

∴要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为10米或35米．

（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则，

y=30×[4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）]+20×[2x（100﹣2x）+2x（80﹣2x）]

即：y=80x2﹣3600x+240000

配方得，y=80（x﹣22.5）2+199500

当x=22.5时，y的值最小，最小值为199500．

∴当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元．

考点: 1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用.