Question

（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

Answer

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由OD⊥AC可得，再由圆周角定理即可得证；

（2）由∠ODB=30°可得∠ABC=60°，从而得∠A=30°，可得BC=AB，又OD=AB，问题得证.

试题解析：（1）∵OD⊥AC OD为半径，

∴=，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，

∴∠OBD=∠0DB=30°，

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°，

∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，BC=AB，

∵OD=AB，

∴BC=OD．

考点：1、垂径定理；2、圆周角定理；3、直角三角形的性质.