Question

如图，已知△OAB的顶点A（﹣6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．

（1）写出C，D两点的坐标；

（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；

（3）证明AB⊥BE

Answer

（1）C（2，0），D（0，6）；

（2）y=-x2﹣2x+6；顶点E的坐标为（﹣2，8）.

（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由旋转的性质可得OC=OB，OD=OA，由已知条件即可得点C、D的坐标；

（2）由于抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；

（3）已知A、B、E三点的坐标，运用勾股定理计算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，则AB2+BE2=AE2，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE.

试题解析：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，∴△ODC≌△OAB.

∴OC=OB=2，OD=OA=6.∴C（2，0），D（0，6）.

（2）∵抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），

∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），

∵D（0，6）在抛物线上，∴6=﹣12a，解得a=-.

∴抛物线的解析式为y=-（x+6）（x﹣2），即y=-x2﹣2x+6.

∵y=-x2﹣2x+6=-（x+2）2+8，∴顶点E的坐标为（﹣2，8）.

（3）连接AE，

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），

∴AB2=62+22=40，

BE2=（﹣2﹣0）2+（8﹣2）2=40，

AE2=（﹣2+6）2+（8﹣0）2=80.

∴AB2+BE2=AE2.

∴△ABE是直角三角形.

∴AB⊥BE．

考点：1、旋转的性质；2、待定系数法求函数解析式；3、勾股定理的逆定理.