Question

（本题满分12分）

（1）若二次函数y₁=mx² －3（m－1）x+2m－3的图象关于y轴对称；

①求二次函数y₁的解析式；

②已知一次函数y₂=2x－2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立；

（2）在（1）条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．

Answer

（1）①二次函数的解析式为：y1=x2-1；

②证明见解析；

（2）y3=.

【解析】

试题分析：（1）①由已知可得3（m-1)=0，得m=1，从而得到二次函数的解析式为：y1=x2-1；

②通过y1-y2=x2-1-(2x-2)=（x-1)2≥0得到证明；

（2）由②知，当x=1时，y1=y2=0，即y1、y2的图象都经过点（1，0）；从而知y3的图象必经过（1，0），再由已知y3的图象还过点（-5，0），由待定系数法可求得y3的解析式，再通过计算y3-y2即可.

试题解析：（1）①∵二次函数y1=mx2 －3（m－1）x+2m－3的图象关于y轴对称，∴3（m-1)=0，即m=1,

∴抛物线的解析式为：y1=x2-1；

②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=（x-1)2≥0，∴y1≥y2（当且仅当x=1时，等号成立）；

（2）由②知，当x=1时，y1=y2=0，即y1、y2的图象都经过点（1，0）；

∵对应x的同一个值，y1≥y3≥y2成立，

∴y3=ax2+bx+c的图象必经过（1，0），

又∵y3=ax2+bx+c经过（-5，0），

∴y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a;

设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a);

对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立，

∴y3-y2≥0，

∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0;

根据y1、y2的图象知：a>0,

∴（4a-2)2-4a(2-5a)≤0，即（3a-1)2≤0,

故a=，所以y3=.

考点：二次函数的综合题.