Question

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．

Answer

(1)、略；(2)、6.

【解析】

试题分析：(1)、连接OA，OD，根据D为中点可得∠BOD=∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，根据AC=FC得到∠FAC=∠AFC=∠OFD，根据OA=OD可得∠OAF=∠D，从而说明∠OAC=90°，得到切线；(2)、设OD=r，则OF=8－r，根据Rt△DOF的勾股定理求出r的值，然后根据OF的长度进行验根.

试题解析：（1）连结OA、OD，∵D为下半圆BE的中点，

∴∠BOD=∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，∵∠CFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，∵OA为半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=8﹣r，

又∵在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2,∴，解得，，，

当时，OF=（符合题意）， 当时，OF=（不合题意，舍去），

∴⊙O的半径r为6

考点：切线的判定、勾股定理.